首个不可达基数,即是一种在ZFc公理系统模型基础上加上相应不可达基数公理后,才能够存在的既是强极限基数又是正则基数的不可数基数。
所谓正则基数,意指的便是共尾数等同于自身的基数。
用数学语言来表达,即是cf(k)=k。
这里的cf(k),便是以k为上确界的递增序列的最小长度。
cf可以定义在所有序数上,但正则序数却必然是基数。
这里的“^”是基数乘方之意,因而此数式之意即是k无法通过小于k的基数取幂集来达到。
同理则可得,w即是一个强极限基数,因为有限集合之幂集必然还是有限集合。
又因为w也是正则基数,所以也可以说,倘若不要求「不可数」这一必要条件的话,那么w就属于是最小的不可达基数。
想想看,与w相比无论1还是ScG(3)其实都没有什么分别,由此可见从那下方的自然数当中任意一点往上攀爬,都永远无法抵达w。
所以从正则性和极限性来看,w和w之下的一切有限数比起来,就等于是有与无的关系,完全属于概念上的断层。
当然,w和不可达基数相比只是某种意义上的‘明星脸’而已。
真正的不可达基数下方,是有着无界多世界基数层级的,远比想象之中还要更为遥远与深邃,强度亦是断层式的庞大。
许多知性生命都有一个极为不严谨的认知,即是认为……如果说w是阿拉伯数字堆不出来的上确界,那么首个不可达基数应该便是阿列夫函数堆不出来的上确界。
但这个认知是错误的,不可达基数远比这个认知要巨大的多的多的多。
若用真正的数学语言来表达,即是……对于极限序数a,有cf(?a)≤a,又因a≤?a,因此若?a为弱不可达基数,那么cf(?a)=a=?a。
至于更高的强不可达基数,则是在弱不可达基数的基础上,增加了一个条件或者说要求。
即是……对于任意基数λ<k,有2^λ<k。
这列数式表达之意,便是若k为弱不可达基数,且满足上面要求,那么就可升为强不可达基数。
此话当中的「强弱」即指范围之意,「弱」指代的是要求低、范围广,「强」则指代的是更具体明确了为何该大基数不可到达。
由强不可达基数的定义便可知,它一定是弱不可达基数,即必然是正则且不可数的极限基数。
根据康托尔定理,对于任意基数λ,有λ<2^λ恒成立,这表示可通过不断取幂集之方式来获得更大的基数。
但不可达基数则是说,若k是强不可达基数,那么无论从比它小的哪一个基数λ<k开始,无论如此取幂集2^λ,都无法达到k。
最终就可以证明,如果k是强不可达基数,则对于任意序数a<k,所以就有2^?a<k。
而那位镇陲总督,恰恰就是一尊……强不可达基数级掌道者。
“所以……”
穆苍摩挲着下巴轻笑道,“那个劳什子总督,到底会有多强大呢?”
怀揣着好奇,穆苍一步就踏出了自己所在的哥德尔可构造宇宙,通过那隐匿而复杂的疆界路径,踏足到了另一方冯·诺依曼宇宙当中。
而在祂这一尊‘**’世界基数公理离开之后,原先那座哥德尔可构造宇宙就刹然跌落到了普通真类层次,变的平庸无奇。
与此相反的是,那一座有幸被穆苍所踏足的万有宇宙真类疆域,则瞬然位阶疯涨蓦地达到了世界基数级。
这种神奇的现象,便是【无绝秘策】的逆天威能所造成的可怖结果。
完全不需要穆苍自己启动「万用至理」,此逆天神技自行就会将其脚下所踏之疆域的最高主导权,强行纳入到了祂的掌控之中。
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